ペアノの公理は，何を言っているのでしょう？ それは，  は「系列」である，すなわちつぎの形をしたものである，と言っています：
」は，○で示される項の全体です。
「１」は，これの先頭の項です。 （条件 1° は，「１」を先頭として定義するものです。──「先頭」を「何の後でもない」ことと条件づけています。) 「ｆ」は，各項にその直後の項 (「後者(successor)」) を対応させる関数です。 （ここでは，記号 → で対応を表現。) ちなみに，１, f(1), f(f(1)), ‥‥ の表記の一つが，「1, 2, 3, ‥‥」です。 以下，ペアノの公理が「系列」の形の過不足無い定義になっていることを，見ていくことにします。 1. 先ず，条件３゜により，１, f(1), f(f(1)), ‥‥ 全体が になります。
特に， は，fによって全体が一つに連結しています。
2. つぎの枝分かれの形は，ありません： 
3. つぎの枝分かれの形は，ありません： 
4. 部分ループは，上の２タイプの枝分かれのいずれかを含むので，ありません。 5. つぎの全体ループの形も，ありません： 
6. つぎの終端の形は，ありません： 
条件１゜より，f(x) は１ではありません。 そして，条件２゜より，f(x) は１以外の項でもありません。 結局，f(x) は存在できません。 7. つぎの無限溯行の形は，ありません： 
8. こうして，つぎの形が残ります：
,1,ｆ）の条件を満たすものになっています。
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